切线

曲线切线和法线的几何定义

P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的 极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）

说明： 平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。

曲线切线和法线的代数定义

在 高等数学中，对于一个函数，如果函数某处有 导数,那么此处的导数就是过此处的切线的斜率，该点和斜率所构成的直线就为该函数的一个切线。

性质和定理

切线的性质定理

圆的切线垂直于过其 切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

切线判定定理

一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。

一般可用：

1、作垂直证半径

2、作半径证垂直

圆的切线

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径．

推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

切线的主要性质

(1)切线和圆只有一个公共点；

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于经过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心；

(6)从圆外一点引圆的切线和 割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项

其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的,(6)是由 相似三角形推得的，也就是 切割线定理。

切线的判定和性质

切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

几何语言：∵l ⊥OA，点A在 ⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（ 切线判定定理）

切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA（切线性质定理）

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理 从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC，∠APO=∠CPO（ 切线长定理）

弦切角

弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的 圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠ACM所对的是 ， =

∴∠BCN=∠ACM

弦切角概念：顶点在 圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继 圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：

（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；

（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；

（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为 端点的一条射线．

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中，均不是弦切角．

（4）弦切角可以认为是 圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。